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数値の指数表現と有効数字

数値の指数表現 1.23×10^45(いってんにいさんかけるじゅうのよんじゅうごじょう)

まずは有効数字
理科で扱う数値というのは実測・観測に基づいた数値であることが多い。測っているという事は、実際には読み取る限界があり、実のところ完全な正確な数値というのは得ることができないのが普通です。(それ以外にに観測することによる避けられない差というのもありますが。ここではそれについては言及しません。)

例えば、1mmのめもりのある物差しで測る場合、人間の目ではmmのメモリの中間にある長さをあらわすときに12.3mmなどと目分で読み取ることがありますが、この最後の数字3はだいたいここでしょうという意味であって、「ただしいか?」と言われたら「多分」なんちゃって答えることになります。だからこの3はちょっと怪しい。でも12は信じていい数値です。この信じていい値の事を有効な数字という意味で有効数字といいます。この場合、信じていい数字が2桁ありますので「有効数字2桁」といいます。

ところで、有効数字が二桁で12㎜であるときの本当の長さはいくつからいくつまでの値でしょうか。3だと切り捨てれば12になります。切り捨て切り上げの習慣から行くと、有効数字12mmは、11.5mmから12.4mmの間の数値の可能性があります。信じられる有効数字の裏側には幅のある実測値が隠れているというわけです。

とても大きな数値やとても小さな数値をどう表すか
ところで、とても大きな数字をあらわすときにも、この有効数字という考え方が必要な場合があります。例えば人の体の表面の毛の本数を数えるとか、ゴルフ場に生えている草の本数を数えるといった場合です。ゴルフ場に生えている草の数を数えるのに全ての草を数える人はいません。多分1平方メートルの草の本数を数えてあとはゴルフ場の面積をかけて求めるでしょう。でも、そうやって求めた本数は出てきた数値をそのまま全部の桁数信じられるとは言えません。今数えたら1平方メートル当たり12345本の芝が生えていたとします。ゴルフ場が百万平方メートルだとすると全体の芝の本数は12345000000本と計算では出ます。でも、実際に数えたら、1平方メートル当たりの芝の本数は1パーセントほどの多い少ないがあったとします。すると12345の3がすでに怪しい数字です。この場合、信頼できる数字は12でその次桁の3は、2かもしれないし4かもしれません。信頼できる数字としてはやはり12ということができるでしょう。

さて、だとすると12345000000は、有効数字が2桁であることを伝えて表すには何と表せばよいのでしょうか。
これに答える表し方が、指数表現なのです。指数表現では数値を、「信頼できる数値」と「数値の規模をあらわす部分」にわけて表現します。
すなわち、1.2 × 10^10 のように表すのです。1.2が信頼できる有効数字2桁で、10の10乗の部分が数値の規模をあらわす部分です。昔は1.2の部分を実数部、10の10乗の部分を位取りの部分とか言っていたように思いますが、今は違うみたいです。で、この実数部を有効桁数の数値で表すのが普通です。

表し方のルールとしてもうひとつあるのは、「実数部は1以上10未満で表す」ルールです。だから1.2×10^10 と書きますが、12×10^9とは書きません。これは化学のルールですね。でも、問題集の答えとか見ると1.2×10^2なのに120とか書いてあることがありますから、結構化学ってアバウトかもしれません。アバウト好きですが。

ちなみに、芝の本数の有効数字の桁数が2桁では粗すぎる、有効数字3桁で表したいというようなときは、あちこちの1平方メートルの芝の本数を数えて平均を出していき、平均が落ち着く値になるほど調べてからその平均値を用いれば信じられる数値は3桁とすることができると思います。

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